Question

．(本小題滿分14分)設拋物線的方程為，為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為,.
（1）當的坐標為時，求過三點的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關系；
（2）求證：直線恒過定點；
（3）當變化時，試探究直線上是否存在點，使為直角三角形，若存在，有幾個這樣的點，若不存在，說明理由.

Answer 1

解：(1)當的坐標為時，設過點的切線方程為，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得，      ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因為到的中點的距離為，
從而過三點的圓的方程為．
易知此圓與直線相切.             ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）證法一：設切點分別為,,過拋物線上點的切線方程為，代入，整理得    
，又因為，所以．．．．．．．．．．．．．．．．5分
從而過拋物線上點的切線方程為即
又切線過點，所以得    ①  即
同理可得過點的切線為，
又切線過點，所以得    ②  即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即點，均滿足即，故直線的方程為                                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
證法二：設過的拋物線的切線方程為，代入，消去，得    
即：．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
從而，此時，
所以切點的坐標分別為，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
因為，，
，
所以的中點坐標為
故直線的方程為，即.．．．．．．．．．．．．．．7分
又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
證法三：由已知得，求導得，切點分別為,，故過點的切線斜率為，從而切線方程為即
又切線過點，所以得    ①  即
同理可得過點的切線為，
又切線過點，所以得    ②  
即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即點，均滿足即，故直線的方程為                    ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）解法一：由（2）中①②兩式知是方程的兩實根，故有

（*）
將，，代入上（*）式得
∴
，    ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
①當時，，直線上任意一點均有，為直角三角形；                                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
②當時，，，不可能為直角三角形；
．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
③當時，，.
因為，，
所以
若，則，整理得，
又因為，所以，
因為方程有解的充要條件是.
所以當時，有或，為直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
綜上所述，當時，直線上任意一點，使為直角三角形，當時，直線上存在兩點，使為直角三角形；當或時，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
解法二：由（2）知，且是方程的兩實根，即，從而，
所以
當時，即時，直線上任意一點均有，為直角三角形；                                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
當時，即時，與不垂直。
因為，，
所以
若，則，整理得，
又因為，所以，
因為方程有解的充要條件是.
所以當時，有或，為直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
綜上所述，當時，直線上任意一點，使為直角三角形，當時，直線上存在兩點，使為直角三角形；當或時，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

略