Question

已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的x個紅球和4個黑球．現在先從甲盒內一次隨機取2個球，再從乙盒內一次隨機取出2個球，甲盒內每個球被取到的概率相等，乙盒內每個球被取到的概率也相等．已知取出的4個球都是黑球的概率．
（I）求乙盒內紅球的個數x；
（II）設ξ為取出的4個球中紅球的個數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）設“從甲盒內取出的2個球均為黑球”為事件A，“從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件B．由于事件A，B相互獨立，故用概率的乘法公式計算取出的4個球均為黑球的概率；
（II）由題意ξ可能的取值為0，1，2，3，再由概率的乘法公式求出取各個值時的概率，列出分布列由公式計算出數學期望即可．
解答：解：（I）設“從甲盒內取出的2個球均為黑球”為事件A，
“從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件B．
由于事件A，B相互獨立，所以取出的4個球均為黑球的概率為
P（AB）=P（A）P（B）=   
依題設=，
即，∴（x-2）（x-9）=0，∴x=2或x=-9（舍）
故乙盒內紅球的個數為2．  
（II）ξ可能的取值為0，1，2，3由（I）知P（ξ=0）=，
P（ξ=1）==，
P（ξ=3）=='
P（ξ=2）=1-P（ξ=3）-P（ξ=1）-（ξ=0）=

ξ的分布列為

ξ		1	2	3
P

ξ的數學期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列以及數學期望的求法，求解此類題的關鍵是求出相應的概率得出分布列，熟練掌握各類事件的概率求法及概率的性質，使得解題變得容易．