Question

已知數列{a_n}是等差數列,且3a₅=8a₁₂＞0,數列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1a_n+2(n∈N^*),{b_n}的前n項和為S_n,當n多大時S_n取得最大值？證明你的結論.

Answer 1

在數列{b_n}的前n項和為S_n中,前16項的和S₁₆最大.

解析:

設數列{a_n}的公差為d,則由3a₅=8a₁₂得3a₅=8(a₅+7d),

∴a₅=-d＞0.∴d＜0.

∴a₁₆=a₅+11d=-d+11d=-d＞0,

a₁₇=a₅+12d=-d+12d=d＜0.

∴a₁＞a₂＞a₃＞…a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈＞….

∴b₁＞b₂＞b₃＞…b₁₄＞0.

b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0,b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0.

由于a₁₅=a₅+10d=-d+10d=-d,a₁₈=a₅+13d=-d+13d=d,

∴a₁₈＞｜a₁₅｜=a₁₅.∴b₁₆＞｜b₁₅｜=-b₁₅.

∴S₁₆=S₁₄+b₁₅+b₁₆＞S₁₄.

綜上所述,在數列{b_n}的前n項和為S_n中,前16項的和S₁₆最大.