Question

（理科）三個數a、b、c∈（0，

π

2

），且cosa=a，sin（cosb）=b，cos（sinc）=c，則a、b、c從小到大的順序是

b＜a＜c

．

Answer 1

分析：先利用導數證明當x∈（0，

π

2

）時，sinx＜x，再構造新函數證明f（x）=sin（cosx）-x為（0，

π

2

）上的減函數，g（x）=cos（sinx）-x為（0，

π

2

）上的減函數；最后將x=a分別代入兩函數，判斷函數值正負，從而利用函數的單調性比較自變量a、b、c的大小

解答：解：先證明當x∈（0，

π

2

）時，sinx＜x
設y=sinx-x，則y′=cosx-1＜0，∴y=sinx-x為（0，

π

2

）上的減函數，∴y＜sino-0=0，即sinx＜x
同理可證明f（x）=sin（cosx）-x為（0，

π

2

）上的減函數，g（x）=cos（sinx）-x為（0，

π

2

）上的減函數
∵sina＜a
∴cos（sina）-a=cos（sina）-cosa＞0，而cos（sinc）-c=0，
∴g（a）＞g（c），a、c∈（0，

π

2

），
∴a＜c
同理∵x∈（0，

π

2

）時，sinx＜x，∴sin（cosa）＜cosa
∴sin（cosa）-a=sin（cosa）-cosa＜0，而sin（cosb）-b=0
∴f（a）＜f（b），a、b∈（0，

π

2

），
∴a＞b
綜上所述，b＜a＜c
故答案為b＜a＜c

點評：本題考查了利用函數的單調性比較大小的方法，恰當的構造函數，正確的研究其單調性是解決本題的關鍵