Question

如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D，E，F，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形；
（Ⅲ）是否存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據兩個點是兩條邊的中點，得到這條線是兩條邊的中位線，得到這條線平行于PC，根據線面平行的判定定理，得到線面平行．
（II）根據四個點是四條邊的中點，得到中位線，根據中位線定理得到四邊形是一個平行四邊形，根據兩條對角線垂直，得到平行四邊形是一個矩形．
（III）做出輔助線，證明存在點Q到四面體PABC六條棱的中點的距離相等，根據第二問證出的四邊形是矩形，根據矩形的兩條對角線互相平分，又可以證出另一個矩形，得到結論．
解答：證明：（I）∵D，E分別為AP，AC的中點，
∴DE∥PC，
∵DE?平面BCP，
∴DE∥平面BCP．
（II）∵D，E，F，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，
∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF
∴四邊形DEFG為平行四邊形，
∵PC⊥AB，
∴DE⊥DG，
∴四邊形DEFG為矩形．
（III）存在點Q滿足條件，理由如下：
連接DF，EG，設Q為EG的中點，
由（II）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG，
分別取PC，AB的中點M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN，
與（II）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點為EG的中點Q，
且QM=QN=EG，
∴Q為滿足條件的點．
點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查三角形中位線定理，考查平行四邊形和矩形的判定及性質，本題是一個基礎題．