Question

（2012•遼寧）電視傳媒公司為了了解某地區電視觀眾對某體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖：
將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．
（I）根據已知條件完成下面2×2列聯表，并據此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？

	非體育迷	體育迷	合計
男
女		10	55
合計

（II）將上述調查所得到的頻率視為概率．現在從該地區大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）

P（ K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

．

Answer 1

分析：（I）根據所給的頻率分布直方圖得出數據列出列聯表，再代入公式計算得出K方，與3.841比較即可得出結論；
（II）由題意，用頻率代替概率可得出從觀眾中抽取到一名“體育迷”的概率是

1

4

，由于X∽B（3，

1

4

），從而給出分布列，再由公式計算出期望與方差即可

解答：解：（I）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯表如下：

	非體育迷	體育迷	合計
男	30	15	45
女	45	10	55
合計	75	25	100

…3分
將2×2列聯表中的數據代入公式計算，得
K²=

100×(30×10-45×15) 2

75×25×45×55

=

100

33

≈3.03
因為3.03＜3.841，所以沒有理由認為“體育迷”與性別有關…6分
（II）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率是0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取到一名“體育迷”的概率是

1

4

由題意X∽B（3，

1

4

），從而分布列為

X	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…10分
所以E（X）=np=3×

1

4

=

3

4

．D（X）=npq=3×

1

4

×

3

4

=

9

16

…12分

點評：本題考查獨立性檢驗的運用及期望與方差的求法，頻率分布直方圖的性質，涉及到的知識點較多，有一定的綜合性，難度不大，是高考中的易考題型