Question

如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲線上的點，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x軸正半軸上的點，且△AA₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形（A為坐標原點）．
（1）寫出a_n-1、a_n和x_n之間的等量關系，以及a_n-1、a_n和y_n之間的等量關系；
（2）求證：（n∈N^*）；
（3）設，對所有n∈N^*，b_n＜log₈t恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，△AA₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形（A為坐標原點），從而可得結論；
（2）利用數學歸納法證明，關鍵是第二步：當n=k+1時，由歸納假設及，得，由此可證；
（3）利用裂項法求出b_n，確定b_n最大值，即可求b_n＜log₈t恒成立時實數t的取值范圍．
解答：（1）解：依題意，△AA₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形（A為坐標原點），故有，，…（4分）
（2）證明：①當n=1時，可求得，命題成立； …（2分）
②假設當n=k時，命題成立，即有，…（1分）
則當n=k+1時，由歸納假設及，得．
即
解得（不合題意，舍去）
即當n=k+1時，命題成立．  …（4分）
綜上所述，對所有n∈N^*，．    …（1分）
（3）解：==．…（2分）
因為函數在區間[1，+∞）上單調遞增，所以當n=1時，b_n最大為，即．…（2分）
由題意，有，所以t＞2．
所以，t∈（2，+∞）． …（2分）
點評：本題考查數學歸納法，考查裂項法求數列的和，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．