Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₃=12，S₁₂>0，S₁₃<0．
(Ⅰ)求公差d的取值范圍．
(Ⅱ)指出S₁，S₂，…，S₁₂中哪一個值最大，并說明理由．

Answer 1

本小題考查數列、不等式及綜合運用有關知識解決問題的能力．
(Ⅰ)解：依題意，有
，

① ②

即    

由a₃=12，得a₁=12－2d．   ③
將③式分別代①、②式，得，<d<－3
(Ⅱ)解法一：由d<0可知a₁>a₂>a₃>…>a₁₂>a₁₃．
因此，若在1≤n≤12中存在自然數n，使得a_n>0，a_n+1<0，則S_n就是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值．
由于 S₁₂=6(a₆+a₇)>0，S₁₃=13a₇<0，即      a₆+a₇>0，a₇<0，此得a₆>－a₇>0．
因為a₆>0，a₇<0，故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大．
(Ⅱ)解法二：

＝．
∵    d<0，∴最小時，S_n最大．
當 <d<－3時 ，
∵正整數n=6時最小，∴S₆最大．
(Ⅲ)解法三：由d<0可知 a₁>a₂>a₃>…>a₁₂>a₁₃．
因此，若在1≤n≤12中存在自然數n，使得a_n>0，a_n+1<0，
則S_n就是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值．

故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大．