Question

設{a_n}{b_n}是兩個數列，點M(1，2)，An(2，an)Bn(

n-1

n

，

2

n

)為直角坐標平面上的點．
（Ⅰ）對n∈N^*，若三點M，A_n，B_n共線，求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足：log2cn=

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

，其中{c_n}是第三項為8，公比為4的等比數列．求證：點列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一條直線上，并求出此直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用對n∈N^*，若三點M，A_n，B_n共線，寫出斜率關系，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）通過{c_n}是第三項為8，公比為4的等比數列，求出c_n，利用log2cn=

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

，推出a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=n（n+1）（2n-3），然后利用斜率證明點列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一條直線上，并求出此直線的方程．

解答：解：（Ⅰ）因三點M，A_n，B_n共線，
∴

an-2

2-1

=

2 n -2

n-1 n -1

得a_n=2+2（n-1）故數列{a_n}的通項公式為 a_n=2n…（6分）
（Ⅱ）由題意cn=8•4n-3=22n-3，
a1+a2+…+an=

n(2+2n)

2

=n(n+1)
由題意得 cn=2

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

，
∴22n-3=2

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

∴2n-3=

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

，
∴a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=n（n+1）（2n-3）
當n≥2時，a_nb_n=n（n+1）（2n-3）-（n-1）n（2n-5）=n（6n-8）
∵a_n=2n∴b_n=3n-4．當n=1時，b₁=-1，也適合上式，
∴b_n=3n-4（n∈N^*）
因為兩點P₁、P_n的斜率K=

bn-b1

n-1

=

(n-1)•3

n-1

=3（n∈N^*）為常數
所以點列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…，P_n（n，b_n）在同一條直線上，
且方程為：y-b₁=3（x-1），即3x-y-4=0．…（14分）

點評：本題考查數列與函數的綜合問題，數列通項公式的求法，考查邏輯思維能力，計算能力．