Question

某公司經銷某產品，第x天（1≤x≤30，x∈N^*）的銷售價格為p=a+|x-20|（a為常數）（元∕件），第x天的銷售量為q=50-|x-16|（件），且公司在第18天該產品的銷售收入為2016元．
（1）求該公司在第20天該產品的銷售收入是多少？
（2）這30天中該公司在哪一天該產品的銷售收入最大？最大收入為多少？

Answer 1

分析：（1）設第x天的銷售收入為W_x，先求出第18天的銷售價格p與銷售量q，得第18天的銷售收入W₁₈=pq=2016，可得a的值，從而求得第20天的銷售收入W₂₀=p₂₀•q₂₀；
（2）根據W_x=pq=（a+|x-20|）（50-|x-16|），去掉絕對值，分別在1≤x≤16時，17≤x≤20時，21≤x≤30時求得函數W_x的最大值，并通過比較得出，第幾天該公司的銷售收入最大．

解答：解：（1）設第x天的銷售收入為W_x，
∵第18天的銷售價格p=a+|18-20|=a+|18-20|=a+2，銷售量q=50-|18-16|=48，
∴第18天的銷售收入W₁₈=pq=48×（a+2）=2016（元），解得：a=40，
∴p=40+|x-20|，q=50-|x-16|，
∴第20天的銷售收入為W₂₀=p₂₀•q₂₀=40×46=1840（元）；
（2）設第x天的銷售收入為W_x，
當1≤x≤16時，W_x=（60-x）（34+x）≤[

(60-x)+(34+x)

2

]2=2209（當且僅當x=13時取等號），
∴當x=13時有最大值W₁₃=2209；
當17≤x≤20時，W_x=（60-x）（56-x）=x²-116x+3360=（x-58）²-4，
∴當x=17時有最大值W₁₇=1677；
當21≤x≤30時，W_x=（x+20）（56-x）=-x²+36x+1120=-（x-18）²+1444，
∴當x=21時有最大值W₂₁=1435；
由于W₁₃＞W₂₁＞W₁₇，所以，第13天該公司的銷售收入最大，最大值為2209元．

點評：本題考查了含有絕對值的函數模型的應用；含有絕對值的函數，通常轉化為分段函數來解答，本題是中檔題目．