Question

已知曲線C上任意一點M到點F（1，0）的距離比它到直線x=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=-x+b與曲線C相交于A，B兩點，P（1，2），設直線PA、PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁+k₂為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，M到F（1，0）距離等于它到直線x=-1的距離，由拋物線定義，知C為拋物線，F（1，0）為焦點，x=-1為準線，所以C的方程為y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯立
∴x₁+x₂=2b+4，x₁x₂=b²…（6分）

=
=
=
=
==0…（10分）
所以k₁+k₂為定值．…（12分）
分析：（1）由題意可得，點P到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，由拋物線的定義可得點的軌跡是以F（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線，從而可求曲線C的方程．
（II）將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得k₁+k₂值，從而解決問題．
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、拋物線的標準方程的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、方程思想．屬于基礎題．