Question

【題目】設F1 ， F2分別為橢圓 +y2=1的焦點，點A，B在橢圓上，若 =5 ；則點A的坐標是 ．

Answer 1

【答案】（0，±1）
【解析】解：方法1：直線F1A的反向延長線與橢圓交于點B' 又∵
由橢圓的對稱性，得
設A（x1 ， y1），B'（x2 ， y2）
由于橢圓 的a= ，b=1，c=
∴e= ，F1（ ，0）．
∵|F1A|= |x1﹣ |，
|F1B'|= |x2﹣ |，
從而有： |x1﹣ |=5× |x2﹣ |，
由于 ≤x1 ， x2 ，
∴ ﹣x1＞0， ﹣x2＞0，
即 =5×
=5 ． ①
又∵三點A，F1 ， B′共線，
∴（ ，y1﹣0）=5（﹣ ﹣x2 ， 0﹣y2）
∴ ．②
由①+②得：x1=0．
代入橢圓的方程得：y1=±1，
∴點A的坐標為（0，1）或（0，﹣1）
方法2：因為F1 ， F2分別為橢圓 的焦點，則 ，
設A，B的坐標分別為A（xA ， yA），B（xB ， yB），
若 ；則 ，所以 ，
因為A，B在橢圓上，所以 ，代入解得 或 ，
故A（0，±1）．
方法三、由e=| |，λ=5，e= ，cosθ= ，sinθ= ，
k=tanθ= ，由 ，即可得到A（0，±1）．
所以答案是：（0，±1）．