Question

在一個盒子中，放有標號分別為1，2，3的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x、y，設O為坐標原點，點P的坐標為(x-2，x-y)，記ξ=|

OP

|2．
（I）求事件“ξ取值為5”的概率；
（II）求ξ所有可能取值及各取值對應的概率．

Answer 1

分析：（I）由題設知x，y可能的取值為1，2，3，當x=1，y=3，或x=3，y=1時，ξ=5，有放回地先后抽得兩張卡片的所有情況有×3=9種，由此能求出事件“ξ取值為5”的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，5，ξ=0時，只有x=2，y=2這一種情況，ξ=1時，有x=1，y=1或x=2，y=1，或x=2，y=3，或x=3，y=3四種情況，ξ=2時，有x=1，y=2，或x=3，y=2兩種情況，由此能求出ξ取值分別取0，1，2，5各值時，對應的概率．

解答：解：（I）∵x，y可能的取值為1，2，3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
ξ=（x-2）²+（x-y）²≤5，
且當x=1，y=3，或x=3，y=1時，ξ=5，
∴事件“ξ取值為5”包含2種情況，
∵有放回地先后抽得兩張卡片的所有情況有×3=9種，
∴事件“ξ取值為5”的概率p=

2

9

．
（Ⅱ）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，5，
它們對應的概率分別記為p₀，p₁，p₂，p₅，
ξ=0時，只有x=2，y=2這一種情況，
ξ=1時，有x=1，y=1或x=2，y=1，或x=2，y=3，或x=3，y=3四種情況，
ξ=2時，有x=1，y=2，或x=3，y=2兩種情況，
∴ξ取值分別取0，1，2，5各值時，對應的概率分別為：
p0=

1

9

，p1=

4

9

，p2=

2

9

，p5=

2

9

．

點評：本題考查概率的求法，是中檔題．解題時要認真審題，仔細分析離散型隨機變量ξ的可能取值及取每個值時所包含的情況有幾種，注意既不能重復，又不能遺漏．