Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，G是線段EF的中點，且B點在平面AGC內的射影在CG上．
（Ⅰ）求證：AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-G的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設B點在平面AGC內的射影為H，則H在CG上，由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，則BC⊥平面ABEF，又AG?平面ABEF，BC⊥AG，又BH、BC?平面BGC，根據線面垂直的判定定理可知AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）過G作GM⊥AB于M，過M作MN⊥AC于N，連NG，根據平面ABCD⊥平面ABEF，GM⊥AB，則GM⊥平面ABCD，又MN⊥AC，所以NG⊥AC，
從而∠GNM就是二面角B-AC-G的平面角，在平面ABEF內，由ABEF是矩形，G是EF的中點，GM⊥AB，可得M是AB的中點，AG⊥平面BGC，則AG⊥GB，AB=2GM=2AF，設AF=a，則AB=2a，又MN=

2

2

AM，可求出tan∠GNM，從而得到結論．

解答：解：（Ⅰ）設B點在平面AGC內的射影為H，則H在CG上，由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，∵ABCD為正方形，∴BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，又AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG，又BH、BC?平面BGC，
∴AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）過G作GM⊥AB于M，過M作MN⊥AC于N，連NG，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，GM⊥AB，∴GM⊥平面ABCD，又MN⊥AC，
∴NG⊥AC，
∴∠GNM就是二面角B-AC-G的平面角，在平面ABEF內，由ABEF是矩形，G是EF的中點，GM⊥AB，可得M是AB的中點，
又∵AG⊥平面BGC，∴AG⊥GB，
∴AB=2GM=2AF，設AF=a，則AB=2a，又MN=

2

2

AM，
∴tan∠GNM=

a

2 2 a

=

2

，∴∠GNM=arctan

2

，
∴二面角B-AC-G的大小為arctan

2

．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及平面與平面垂直的性質和二面角的度量，同時考查了化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力，屬于中檔題．