Question

有下列四個命題：
①“若xy=1，則x，y互為倒數”的逆命題；
②“相似三角形的周長相等”的否命題；
③“若b≤-1，則方程x²-2bx+b²+b=0有實根”的逆否命題；
④“若A∪B=B，則A?B”的逆否命題．
其中真命題是（　　）

A．①②

B．②③

C．①③

D．③④

Answer 1

分析：逐個加以判別：根據兩個實數互為倒數的定義，不難得到①是真命題；對于②，可以舉兩個周長相等的三角形，但它們不相似，說明②是假命題；運用一元二次方程根的判別式，結合不等式的基本性質，可得③是真命題；根據集合包含關系和并集的含義，可舉出反例說明④是假命題，最終得出正確的選項．

解答：解：對于①，“若xy=1，則x，y互為倒數”的逆命題是：
若x，y互為倒數，則xy=1．
符合倒數的定義，故①是真命題；
對于②，“相似三角形的周長相等”的否命題是：
不相似的兩個三角形的周長不相等，
可舉反例：
△ABC中，AB=BC=CD=4，三角形是等邊三角形且周長為12，
△DEF中，DE=3，EF=4，FD=5，三角形是直角三角形且周長為12，
兩個三角形不相似但周長相等，故②是假命題；
對于③，“若b≤-1，則方程x²-2bx+b²+b=0有實根”逆否命題是：
若x²-2bx+b²+b=0沒有實數根，則b＞-1．
若x²-2bx+b²+b=0沒有實數根，可得△=-4b＜0⇒b＞0⇒b＞-1，
可知當x²-2bx+b²+b=0沒有實數根時，b＞-1成立，故③正確
對于④，“若A∪B=B，則A?B”的逆否命題是：
若“A?B，則A∪B≠B”
舉反例：A={1，2}，B={1，2，3}
此時A?B，但A∪B={1，2，3}=B，故④是假命題．
綜上所述，①③是正確的．
故選C．

點評：本題以倒數、相似三角形、一元二次方程的根的判別式和集合包含關系為例，主要考查了四種命題及其真假判斷等知識點，屬于基礎題．