Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x²，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+2t）≥4f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是

[2，+∞）

．

Answer 1

分析：由當x≥0時，f（x）=x²，函數是奇函數，可得當x＜0時，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調遞增函數，且滿足4f（x）=f（2x），再根據不等式f（x+2t）≥4f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+2t≥2x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．

解答：解：當x≥0時，f（x）=x²
∵函數是奇函數∴當x＜0時，f（x）=-x²
∴f（x）=

x2(x≥0) -x2(x＜0).

，
∴f（x）在R上是單調遞增函數，且滿足4f（x）=f（2x），
∵不等式f（x+2t）≥4f（x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+2t≥2x在[t，t+2]恒成立，即：t≥

1

2

x在[t，t+2]恒成立，
∴t≥

1

2

（t+2），∴t≥2，實數t的取值范圍是[2，+∞）．
故答案為：[2，+∞）．

點評：本題考查了函數恒成立問題及函數的奇偶性，難度適中，關鍵是掌握函數的單調性與奇偶性．