Question

【題目】如圖，已知點是圓心為半徑為的半圓弧上從點數起的第一個三等分點，點是圓心為半徑為的半圓弧的中點，、分別是兩個半圓的直徑，，直線與兩個半圓所在的平面均垂直，直線、共面.

（1）求三棱錐的體積；

（2）求直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意得出，可得出為等邊三角形，由此求出、的長度，并計算出的面積，易知三棱錐的高等于，再由錐體體積公式可得出三棱錐的體積；

（2）以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算出與所成角的余弦值，從而可得出異面直線與所成角的余弦值.

（1）由于點是圓心為半徑為的半圓弧上從點數起的第一個三等分點，

則，是邊長為的等邊三角形，，且，

是以為直徑的半圓上的一點，則，，

的面積為，

易知三棱錐的高等于，

則三棱錐的體積為；

（2）以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，則、、、.

于是，.

由于，

因此，直線與所成角的余弦值為.