Question

6．在邊長為3的等邊三角形ABC中，$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{BD}$，2$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$=3$\overrightarrow{BE}$，則|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，以BC邊所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，求出D、B、C、A的坐標，設出E的坐標，由已知列式求得E的坐標，進一步求出$\overrightarrow{DE}$的坐標，代入向量模的公式得答案．

解答 解：如圖，以BC邊所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，

則D（-$\frac{1}{2}$，0），B（$-\frac{3}{2}$，0），C（$\frac{3}{2}，0$），A（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
設E（x，y），
則由2$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$=3$\overrightarrow{BE}$，得（6，0）+（$\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$）=（$\frac{9}{2}+3x$，3y），
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{15}{2}=\frac{9}{2}+3x}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}=3y}\end{array}\right.$，解得E（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{DE}=（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，則$|\overrightarrow{DE}|=\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，正確建立平面直角坐標系是解答該題的關鍵，是中檔題．