Question

已知函數f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），F（x）=f（x）+2，且對于任意實數x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）已知函數g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區間（0，1）上單調，求實數a的取值范圍；
（3）函數h(x)=ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k有幾個零點？

Answer 1

分析：（1）先表示出汗水F（x）的表達式，再根據F（x-5）=F（5-x）求出b的值，進而可確定函數f（x）的解析式．
（2）將（1）中求出的函數f（x）的解析式代入函數g（x）然后求導，將問題轉化為g′（x）≥0或g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
（3）對函數h（x）進行求導，然后根據導函數的正負和原函數的單調性的關系判斷函數的單調性，進而確定零點．

解答：解：（1）由題設得：F（x）=x²+bsinx，
∵F（x-5）=F（5-x），
∴F（-x）=F（x）
∴x²-bsinx=x²+bsinx，
∴bsinx=0對于任意實數x都成立，
∴b=0
∴f（x）=x²-2．

（2）由g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx，
得g′(x)=2x+2+

a

x

  (x＞0)
g（x）在（0，1）上恒單調，只需g′（x）≥0或g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≥-（2x²+2x）或a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
設u（x）=-（2x²+2x），x∈（0，1），易知：u（x）∈（-4，0），
∴a≥0或a≤-4．

（3）令y=ln(1+x2)-

1

2

f(x)，y′=

2x

1+x2

-x=-

x(x+1)(x-1)

1+x2

，
令y′=0?x=0或x=1或x=-1，列表如下：
∴當k＞ln2+

1

2

時，無零點；
當k＜1或k=ln2+

1

2

時，有兩個零點；
當k=1時，有三個零點；
當1＜k＜ln2+

1

2

時，有四個零點．

點評：本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．對原函數進行求導，然后列出函數f（x）、f'（x）隨x變化的表格，其單調性、極值點即可呈現出來．