Question

【題目】已知橢圓的離心率為，下頂點為，為橢圓的左、右焦點，過右焦點的直線與橢圓交于兩點，且的周長為.

（I）求橢圓的方程；

(II)經過點的直線與橢圓交于不同的兩點 (均異于點)，試探求直線與的斜率之和是否為定值，證明你的結論.

Answer 1

【答案】（I）；(II) 證明見解析.

【解析】

（I）根據離心率和三角形的周長列方程，解方程求得的值，進而求得的值，從而求得橢圓方程.（II）先求得直線斜率不存在時，與得斜率之和.當直線斜率存在時，設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理，利用兩點的坐標表示出，化簡后得到.由此判斷出直線與的斜率之和為定值.

（Ⅰ）由題設知，

由橢圓的定義知：的周長為，解得.

故因此，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題設知，

當直線的斜率不存在時，直線方程為，

此時，則.

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立，得.

由題意知，因此設，

則，

故有直線的斜率之和為

即直線的斜率之和為定值2.