Question

已知點A（1，3）和拋物線y²=4x，點P在拋物線上移動，P在y軸上的射影為Q，則|PQ|+|PA|的最小值是
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• A．1+

  2

• B．2+

  3

• C．3
• D．2

Answer 1

分析：設M為P在拋物線準線上的射影，根據拋物線的定義可得|PQ|+|PA|=|PM|+|PA|-1=|PF|+|PA|，由平面幾何知識可得當P點恰好在線段AF上時，|PQ|+|PA|達到最小值，由此即可得到答案．

解答：解：∵拋物線方程為y²=4x，
∴焦點為F（1，0），準線方程l：x=-1，
設M為P在拋物線準線上的射影，
∴P、Q、M三點共線，且|PM|=|PQ|+1
根據拋物線的定義，可得
|PM|+|PA|=|PF|+|PA|
設AF與拋物線交點為P₀，則P與P₀重合時，
|PF|+|PA|=|AF|=3達到最小值，
因此，|PM|+|PA|的最小值等于3
可得|PQ|+|PA|=|PM|+|PA|-1的最小值為2
故選：D

點評：本題給出拋物線上的動點P，求P到A的距離與它到y軸投影點Q的距離和的最小值．著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．