Question

在△ABC中，已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，試確定△ABC的形狀．

Answer 1

解：由三角形的內角和公式可得，2cosAsinB=sinC=sin（A+B）
∴2cosAsinB=sinAcosB+sinBcosA
∴sinAcosB-sinBcosA=0，
∴sin（A-B）=0，∴A=B
∵（a+b+c）（a+b-c）=3ab
∴（a+b）²-c²=3ab
即a²+b²-c²=ab
由余弦定理可得cosC==
∵0＜C＜π，∴C=，∴A=B=C=
故△ABC為等邊三角形
分析：由已知2cosAsinB=sinC=sin（A+B），結合和差角公式可求得A=B，由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，可得a²+b²-c²=ab，利用余弦定理可得C，從而可判斷三角形的形狀．
點評：本題考查兩角和與差的三角公式及余弦定理解三角形，解題的關鍵是熟練掌握三角基本公式．