Question

對于在[a，b]上有意義的兩個函數f（x）與g（x），如果對任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是非接近的．現在有兩個函數f（x）=log_t（x-3t）與g（x）=log_t（）（t＞0且t≠1），現給定區間[t+2，t+3]．
（1）若t=，判斷f（x）與g（x）是否在給定區間上接近；
（2）若f（x）與g（x）在給定區間[t+2，t+3]上都有意義，求t的取值范圍；
（3）討論f（x）與g（x）在給定區間[t+2，t+3]上是否是接近的．

Answer 1

解：（1）當時，f（x）-g（x）=log_t[（x-）（x-）]=
令h（x）=
當時，h（x）∈[log6，-1]
即|f（x）-g（x）|≥1，
f（x）與g（x）是否在給定區間上是非接近的
（2）由題意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0
∴0＜t＜1
（3）∵|f（x）-g（x）|=|log_t（x²-4tx+3t²）|
假設f（x）與g（x）在給定區間[t+2，t+3]上是接近的，
則有|log_t（x²-4tx+3t²）|≤1∴-1≤log_t（x²-4tx+3t²）≤1
令G（x）=log_t（x²-4tx+3t²），當∴0＜t＜1時，[t+2，t+3]在x=2t的右側，
即G（x）=log_t（x²-4tx+3t²），在[t+2，t+3]上為減函數，
∴G（x）_max=log_t（4-4t），
∴G（x）_min=log_t（9-6t）
所以由（*）式可得{0＜t＜1log_t（4-4t）≤1log_t（9-6t）≥-1，解得
0＜t≤
因此，當0＜t≤時，f（x）與g（x）在給定區間[t+2，t+3]上是接近的；當t＞時，
f（x）與g（x）在給定區間[t+2，t+3]上是非接近的．…
分析：（1）當時，f（x）-g（x）=log_t[（x-）（x-）]=考查函數h（x）=
在上的值域，即可
（2）由題意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0可求
（3）利用反證法：假設f（x）與g（x）在給定區間[t+2，t+3]上是接近的，由|f（x）-g（x）|=|log_t（x²-4tx+3t²）|≤1可得-1≤log_t（x²-4tx+3t²）≤1，考查函數G（x）=log_t（x²-4tx+3t²在[t+2，t+3]上的單調性，從而可求G（x）_max=log_t（4-4t），G（x）_min=log_t（9-6t），則有0＜t＜1log_t（4-4t）≤1log_t（9-6t）≥-1，可求
點評：本題考查對數函數的性質和應用，解題的關鍵是熟練掌握函數的性質并能靈活應用