Question

如圖，四棱錐的底面為正方形，側面底面．為等腰直角三角形，且．，分別為底邊和側棱的中點．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）所以二面角的余弦值為．

試題分析：（1）求證：∥平面，證明線面平行，首先證明線線平行，可用三角形的中位線平行，也可用平行四邊形的對邊平行，注意到是的中點，取的中點，連接，，則所以是△的中位線，證得四邊形是平行四邊形，從而得∥，從而可證∥平面；（2）求證：平面，可用空間向量法，注意到平面平面，，可以點為原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，由題意設，則的各點坐標，從而得，，，利用數量積得，，從而得證；（Ⅲ）求二面角的余弦值，由（2）建立空間直角坐標系，可設平面的法向量為，求出一個法向量，由（2）可知平面的法向量是，利用向量的夾角公式，即可求得二面角的余弦值．
試題解析：（1）取的中點，連接，.
因為，分別是，的中點，
所以是△的中位線. 所以∥，且．
又因為是的中點，且底面為正方形，
所以，且∥.所以∥，且．
所以四邊形是平行四邊形．所以∥．
又平面，平面，所以平面．                 4分

（2）證明：因為平面平面，
，且平面平面，
所以平面．
所以，．
又因為為正方形，所以，
所以兩兩垂直.
以點為原點，分別以為軸，
建立空間直角坐標系（如圖）． 
由題意易知，   設，則
，，，，,,．
因為，，，
且，
所以，．
又因為，相交于，所以平面．          9分

（3）易得，．
設平面的法向量為，則
，所以 即
令，則．
由（2）可知平面的法向量是，
所以 .
由圖可知，二面角的大小為銳角，
所以二面角的余弦值為．          14分