Question

給出下列命題：
①已知a，b，m都是正數，且

a+m

b+m

＞

a

b

，則a＜b；
②當x∈（1，+∞）時，函數y=x3，y=x

1

2

的圖象都在直線y=x的上方；；
③命題“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”的否定是真命題；
④“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要條件．
其中正確命題的序號是

①③④

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：利用不等式的性質判斷出①對；利用冪函數的圖象判斷出②錯；利用命題的否定與原命題真假相反判斷出③對；利用絕對值的性質及充要條件的定義判斷出④對．

解答：解：對于：①已知a，b，m都是正數，

a+m

b+m

＞

a

b

⇒ab+bm＞ab+am⇒a＜b；正確；
對于②，因為當x∈（1，+∞）時，函數y=x³的圖象都在直線y=x的上方；但函數y=x

1

2

的圖象都在直線y=x的下方；所以②錯誤；
對于③，因為x²-2x+1=（x-1）²≥0恒成立，所以命題“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”為假命題，所以命題“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”的否定是真命題；所以③正確；
對于④，因為||x|-|y||≤|x+y|≤|x|+|y|，所以若④“|x|≤1，且|y|≤1”成立，則|≤|x|+|y|≤2，所以“|x+y|≤2”成立，反之“|x+y|≤2”例如x=-1，y=3滿足，但不滿足④“|x|≤1，且|y|≤1”，所以“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要條件，所以④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查絕對值的性質：||x|-|y||≤|x+y|≤|x|+|y|，考查充要條件的判斷方法，是一道綜合題．