Question

過拋物線y²=2px（p＞0）焦點F的直線與拋物線交于P、Q，由P、Q分別引其準(zhǔn)線的垂線PH₁、QH₂垂足分別為H₁、H₂，H₁H₂的中點為M，記|PF|=a，|QF|=b，則|MF|=

ab

．

Answer 1

分析：分PQ⊥x軸與PQ與x軸不垂直兩種情況加以討論，利用拋物線的定義、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和勾股定理進行推理與證明，并結(jié)合題中的數(shù)據(jù)加以計算，可得出MF的長等于

ab

．

解答：解：①PQ與x軸不垂直時，如圖所示，
由拋物線的定義，可得|PF|=|PH₁|，|QF|=|QH₂|．
∴∠PFH₁=∠PH₁F，∠QFH₂=∠QH₂F，
設(shè)準(zhǔn)線交x軸于點G，
∵QH₂∥FG∥PH₁，∴∠H₂FG=∠QH₂F，∠H₁FG=∠PH₁F．
因此∠H₂FG=∠QFH₂，且∠H₁FG=∠PFH₁，
可得∠H₂FG+∠H₁FG=

1

2

×180°=90°．
∴Rt△H₁H₂F中，中線|MF|=

1

2

|H₁H₂|．
過點P作PN⊥QS，垂足為N，則|PN|=|H₁H₂|．
在Rt△PQN中，|PQ|=|PH₁|+|QH₂|=a+b，|QN|=||PH₁|-|QH₂||=|a-b|，
∴|PN|=

|PQ|2-|QN|2

=

(a+b)2+(a-b)2

=2

ab

．可得|MF|=

1

2

|H₁H₂|=

ab

．
②當(dāng)PQ⊥x軸時，可得p=a=b，此時|MF|=p=

ab

也成立．
綜上所述，可得MF的長等于

ab

故答案為：

ab

點評：本題給出拋物線的焦點弦PQ，求P、Q在準(zhǔn)線上的射影對應(yīng)線段的中點到焦點F的距離．著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識，屬于中檔題．