Question

如圖：已知曲線C：在點P（1，1）處的切線與x軸交于點Q₁，再過Q₁點作x軸的垂線交曲線C于點P₁，再過P₁作C的切線與x軸交于點Q₂，依次重復下去，過P_n（x_n，y_n）作C的切線與x軸交于點Q_n（x_n+1，O）．
（1）求數列{x_n}的通項公式；
（2）求△OP_nP_n+1的面積；
（3）設直線OP_n的斜率為k_n，求數列nk_n的前n項和S_n，并證明S_n＜

7

9

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過求導即可得到切線的斜率，進而得到切線的方程，即可得到x_n+1與x_n的關系，利用等比數列的通項公式即可求出．
（Ⅱ）利用三角形的面積公式、梯形的面積公式及（Ⅰ）的結論即可得出；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結論即可求出nk_n，再利用“錯位相減法”即可求出S_n，進而證明結論．

解答：（Ⅰ）解：∵y′=-

1

x2

，∴f^′（1）=-1，
∴曲線C：y=

1

x

在點P（1，1）處的切線為y-1=-（x-1），
令y=0，則x=2，∴Q₁（2，0），∴P₁（2，

1

2

），∴x₁=2．
則過點P_n（x_n，

1

xn

）的切線斜率為-

1

xn2

，其方程為y-

1

xn

=-

1

xn2

（x-x_n），
令y=0，得到x=2x_n，∴Q_n+1（2x_n，0），即x_n+1=2x_n，∴

xn+1

xn

=2．
∴數列{x_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，
∴x_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）解：∵S△OPnPn+1=S△OPnQn+S梯形PnPn+1Qn+1Qn-S△OPn+1Qn+1
=

1

2

x_ny_n+

yn+yn+1

2

（x_n+1-x_n）-

1

2

x_n+1y_n+1
=

1

2

（

1

xn

+

1

xn+1

）（x_n+1-x_n）=

1

2

（

1

2n

+

1

2n+1

）（2ⁿ⁺¹-2ⁿ）=

3

4

．
（Ⅲ）證明：由（1）可知：k_n=

yn

xn

=

1

xn2

=

1

(2n)2

=

1

4n

，∴nk_n=

n

4n

．
∴S_n=

1

41

+

2

42

+

3

43

+…+

n-1

4n-1

+

n

4n

①
4S_n=1+

2

41

+

3

42

+…+

n

4n-1

②
②-①得，3Sn=1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

-

n

4n

=

1- 1 4n

1- 1 4

-

n

4n

=

4

3

(1-

1

4n

)-

n

4n

，
∴Sn=

4

9

(1-

1

4n

)-

n

3•4n

＜

4

9

．
故Sn＜

4

9

＜

7

9

．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，關鍵是熟練掌握導數的幾何意義，考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了利用錯位相減法求數列的前n項和，此題是中檔題．