Question

（2012•廈門模擬）已知雙曲線

x

2

-

y 2

b 2

=1(b＞0)的左、右焦點分別是F₁、F₂，點B（0，b），若△BF₁F₂的外接圓圓心到雙曲線漸近線的距離為

3

12

，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．2

  2

Answer 1

分析：設△BF₁F₂的外接圓的圓心為C（0，m），根據|CB|=|CF₁|和點C（0，m）雙曲線漸近線的距離為

3

12

，聯列方程組并解之可得m=-

3

6

，b=

3

，最后根據雙曲線的平方關系和離心率的定義可算出本題的答案．

解答：解：根據雙曲線的對稱性，得△BF₁F₂的外接圓圓心C在y軸上，
設C（0，m），得|CB|=|CF₁|
∴b-m=

m2+c2

=

m2+b2+1

…①
又∵點C（0，m）雙曲線漸近線的距離為

3

12

，
∴

|m|

1+b 2

=

3

12

…②
聯解①②，得m=-

3

6

，b=

3

（因為b＞0，舍去另一組解）
∴雙曲線方程為

x

2

-

y 2

3

=1，得c=

a2+b2

=2
由此可得：雙曲線的離心率e=

c

a

=2
故選：C

點評：本題給出經過雙曲線兩個焦點和虛軸一端的圓，在已知圓心到漸近線的距離情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的簡單性質、直線與圓的位置關系等知識點，屬于中檔題．