Question

如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線(xiàn)與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，求直線(xiàn)AB的斜率；
（Ⅱ）記△GFD的面積為S₁，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S₂．試問(wèn)：是否存在直線(xiàn)AB，使得S₁=S₂？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)其方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，確定G的橫坐標(biāo)，即可求得直線(xiàn)AB的斜率；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線(xiàn)AB，使得 S₁=S₂，確定G，D的坐標(biāo)，利用△GFD∽△OED，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）依題意，直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x+1）．
將其代入，整理得 （4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以．
故點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為．
依題意，得，解得．
（Ⅱ）假設(shè)存在直線(xiàn)AB，使得 S₁=S₂，顯然直線(xiàn)AB不能與x，y軸垂直．
由（Ⅰ）可得 ．
因?yàn)镈G⊥AB，所以 ，
解得，即 ．
因?yàn)椤鱃FD∽△OED，所以S₁=S₂，所以|GD|=|OD|．
所以，
整理得8k²+9=0．
因?yàn)榇朔匠虩o(wú)解，所以不存在直線(xiàn)AB，使得 S₁=S₂．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．