Question

已知函數f（x）=x³+bx²-ax在x=1處有極小值-1．
（1）求a，b的值；
（2）求出函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）已知函數f（x）=x³+bx²-ax在x=1處有極小值-1，即f（1）=-1，f′（1）=0，所以先求導函數，再代入列方程組，即可解得a、b的值；
（2）分別解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函數f（x）的單調增區間與單調遞減區間．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²+2bx-a，函數f（x）=x³+bx²-ax在x=1處有極小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1+b-a=-1，3+2b-a=0
解得a=1，b=-1
∴f（x）=x³-x²-x
（2）∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈（-

1

3

，1）
∴函數f（x）的單調增區間為：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），減區間為：（-

1

3

，1）．

點評：本題考查導數在求函數極值中的應用，利用導數求函數的單調區間，屬于中檔題．