Question

如圖，已知曲線C₁：y=x²與曲線C₂：y=-x²+2ax（a＞1）交于點O，A，直線x=t（0＜t≤1）與曲線C₁，C₂分別相交于點D，B，連結OD，DA，AB，OB．
（1）寫出曲邊四邊形ABOD（陰影部分）的面積S與t的函數關系式S=f（t）；
（2）求函數S=f（t）在區間（0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先聯立方程，組成方程組，求得交點坐標，可得被積區間，再用定積分表示出曲邊四邊形ABOD（陰影部分）的面積，即可求得函數關系式S=f（t）；
（2）由（1）確定了函數及其導數的解析式，解不等式f'（x）＞0與f'（x）＜0，可求出函數的單調區間，對字母a進行分類討論，根據函數的單調性求出函數f（x）在區間（0，1]上的最大值．
解答：解析（1）由 解得或．
∴O（0，0），A（a，a²）．又由已知得B（t，-t²+2at），D（t，t²），
∴S=（-x²+2ax）dx-t×t²+（-t²+2at-t²）×（a-t）
=（-x³+ax²）|-t³+（-t²+at）×（a-t）=-t³+at²-t³+t³-2at²+a²t=t³-at²+a²t．
∴S=f（t）=t³-at²+a²t（0＜t≤1）．
（2）f′（t）=t²-2at+a²，令f′（t）=0，即t²-2at+a²=0．解得t=（2-）a或t=（2+）a．
∵0＜t≤1，a＞1，∴t=（2+）a應舍去．
若（2-）a≥1，即a≥=時，
∵0＜t≤1，∴f′（t）≥0．
∴f（t）在區間（0，1]上單調遞增，S的最大值是f（1）=a²-a+．
若（2-）a＜1，即1＜a＜時，當0＜t＜（2-）a時f′（t）＞0．當（2-）a＜t≤1時，f′（t）＜0．
∴f（t）在區間（0，（2-）a]上單調遞增，在區間（（2-）a，1]上單調遞減．
∴f（t）的最大值是f（（2-）a）=[（2-）a]³-a[（2-）a]²+a²（2-）a=a³．
點評：本題考查利用定積分求面積，考查導數在最大值、最小值問題中的應用，以及學生靈活轉化題目條件的能力，屬于中檔題．