Question

20．已知冪函數$y=（{{m^2}-m-1}）{x^{{m^2}-2m-\frac{1}{3}}}$，當x∈（0，+∞）時為減函數，則該冪函數的解析式是${x}^{-\frac{1}{3}}$．

Answer 1

分析 根據冪函數的定義，令m²-m-1=1，求出m的值，再判斷m是否滿足冪函數在x∈（0，+∞）上為減函數即可．

解答 解：∵冪函數y=（m²-m-1）x^{m2-2m-$\frac{1}{3}$}，
∴m²-m-1=1，
解得m=2，或m=-1；
又x∈（0，+∞）時y為減函數，
∴當m=2時，m²-2m-$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$，冪函數為y=x^-$\frac{1}{3}$，滿足題意；
當m=-1時，m²-2m-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，冪函數為y=${x}^{\frac{2}{3}}$，不滿足題意；
綜上，冪函數y=x^-$\frac{1}{3}$．
故答案為：${x}^{-\frac{1}{3}}$．

點評 本題考查了冪函數的定義與性質的應用問題，解題的關鍵是求出符合題意的m值．