Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱?對(duì)任意x₁，x₂∈[0，]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=a＞0．
（Ⅰ）求f；
（Ⅱ）證明f（x）是周期函數(shù)；
（Ⅲ）記a_n=f（2n+），求．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過對(duì)x₁、x₂合理的賦值以及配湊，構(gòu)造所求的結(jié)論．
（2）偶函數(shù)⇒f（-x）=f（x）；關(guān)于直線x=a對(duì)稱⇒f（2a-x）=f（x）．
解答：（Ⅰ）解：因?yàn)閷?duì)x₁，x₂∈[0，]，
都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），所以

∵

f（1）=a＞0，（3分）
∴，（6分）

（Ⅱ）證明：依題設(shè)y=f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
故f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R
又由f（x）是偶函數(shù)知f（-x）=f（x），x∈R，
∴f（x）=f（x-2），x∈R，
得f（x）=f（x+2），x∈R
這表明f（x）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期．（10分）

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f（x）≥0，x∈[0，1]
∵f（）=f（n×）=f（）=f（）ⁿ
∴，（12分）
∵f（x）的一個(gè)周期是2
∴f（2n+）=f（），因此a_n=
∴（lna_n）=．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)和函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．抽象函數(shù)往往是通過對(duì)自變量合理的賦值來解決問題；函數(shù)周期性、奇偶性、對(duì)稱性三者之間具有知二求一的關(guān)系．