Question

已知函數y=-x2+ax-

a

4

+

1

2

在區間[0，1]上的最大值是2，求實數a的值．

Answer 1

分析：先求對稱軸，比較對稱軸和區間的關系，利用開口向下的二次函數離對稱軸越近函數值越大來解題．

解答：解：∵y=f（x）=-(x-

a

2

)2+

1

4

（a²-a+2），對稱軸為x=

a

2

，…1
（1）當0≤

a

2

≤1時，即0≤a≤2時，f（x）max=

1

4

（a²-a+2），
由

1

4

（a²-a+2）=2得a=-2或a=3與0≤a≤2矛盾，不和要求…5
（2）當

a

2

＜0，即a＜0時，f（x）在[0，1]上單調遞減，f（x）max=f（0），由f（0）=2
得-

a

4

+

1

2

=2，解得a=-6…9
（3）當

a

2

＞1，即a＞2時，f（x）在[0，1]上單調遞增，f（x）max=f（1），
由f（1）=2得：-1+a-

a

4

+

1

2

=2，解得a=

10

3

…13
綜上所述，a=-6或a=

10

3

…14

點評：本題考查了二次函數在閉區間上的最值問題．關于不定解析式的二次函數在固定閉區間上的最值問題，一般是根據對稱軸和閉區間的位置關系來進行分類討論，如軸在區間左邊，軸在區間右邊，軸在區間中間，最后在綜合歸納得出所需結論，屬于中檔題．