Question

(本小題滿分12分)已知數列各項均不為0，其前項和為，且對任意都有（為大于1的常數），記．
(1) 求；
(2) 試比較與的大小（）；
(3) 求證：

Answer 1

（1）（2）由(1)可得，結合整體思想來得到比較大小
（3）由(2)知 ，，（）．結合放縮法來得到證明。

試題分析：解：(1) ∵，①  ∴．②
②－①，得，即．  （3分）  在①中令，
可得．∴是首項為，公比為的等比數列，． （4分）
(2) 由(1)可得．
．
∴，   （5分）
．而，且，
∴，．∴，（）．（8分）
(3) 由(2)知 ，，（）．
∴當時，．
∴，（10分）（當且僅當時取等號）．
另一方面，當，時，


．
∵，∴．
∴，（當且僅當時取等號）．（13分）
∴．（當且僅當時取等號）．
綜上所述，，（）．（14分）
點評：考查了數列的通項公式與前n項和關系的運用，以及能結合已知給定的不等式來放縮法得到證明。