Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，
（I）若，求φ的值；
（Ⅱ）在（I）的條件下，若函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數f（x）的解析式；并求最小正實數m，使得函數f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數是偶函數．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用特殊角的三角函數值化簡，根據直接求出φ的值；
（Ⅱ）解法一：在（I）的條件下，若函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求出周期，求出ω，得到函數f（x）的解析式；函數f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數是偶函數．推出，可求最小正實數m．
解法二：在（I）的條件下，若函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求出周期，求出ω，得到函數f（x）的解析式；利用g（x）是偶函數當且僅當g（-x）=g（x）對x∈R恒成立，使得函數f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數是偶函數．化簡，然后再求最小正實數m．
解答：解：（I）由得
即又，∴
（Ⅱ）解法一：由（I）得，依題意，又，故ω=3，∴
函數f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數為g（x）是偶函數當且僅當即從而，最小正實數
解法二：由（I）得，，依題意，又，故ω=3，∴
函數f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數為，g（x）是偶函數當且僅當g（-x）=g（x）對x∈R恒成立
亦即對x∈R恒成立．∴=
即對x∈R恒成立．∴
故∴從而，最小正實數
點評：本題是中檔題，考查三角函數的字母變量的求法，三角函數的圖象的平移，偶函數的性質，轉化思想的應用，考查計算能力，是�？碱}．