Question

如圖，已知平面α、β，且α∩β=l．設梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β．求證：AB，CD，l共點（相交于一點）．

Answer 1

【答案】分析：證明線共點的問題實質上是證明點在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點看作是兩平面的公共點，由公理3得證．
解答：證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的兩腰，
∴AB，CD必定相交于一點．
如圖，設AB∩CD=M．
又∵AB?α，CD?β，
∴M∈α，且M∈β，
∴M∈α∩β．
又∵α∩β=l，∴M∈l，
即AB，CD，l共點
點評：所謂線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點．（1）證明三線共點的依據是公理3．（2）證明三線共點的思路是：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過該點，把問題轉化為證明點在直線上的問題．實際上，點共線、線共點的問題都可以轉化為點在直線上的問題來處理．