Question

已知函數f（x）=log

1

2

（x+1），當點P（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上移動時，點Q（

x0-t+1

2

，y₀）（t∈R）在函數y=g（x）的圖象上移動．
（1）若點P坐標為（1，-1），點Q也在y=f（x）的圖象上，求t的值；
（2）求函數y=g（x）的解析式；
（3）當t＞0時，試探求一個函數h（x）使得f（x）+g（x）+h（x）在限定定義域為[0，1）時有最小值而沒有最大值．

Answer 1

（1）當點P坐標為（1，-1），點Q的坐標為(

1-t+1

2

，-1)，
∵點Q也在y=f（x）的圖象上，∴-1=log

1

2

(-1+

t

2

+1)，即t=0．
（根據函數y=f（x）的單調性求得t=0，請相應給分）
（2）設Q（x，y）在y=g（x）的圖象上
則

x= x0-t+1 2 y=y0

，即

x0=2x+t-1 y0=y

而P（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上，∴y0=log

1

2

(x0  +1)
代入得，y=g(x)=log

1

2

(2x+t)為所求．
（3）h(x)=log

1

2

1-x

2x+t

；或h(x)=log

1

2

3 2 -x

2x+t

等．
如：當h(x)=log

1

2

1-x

2x+t

時，
f（x）+g（x）+h（x）=log

1

2

 (x+1)+log

1

2

(2x+t)+log

1

2

1-x

2x+t

=log

1

2

 (1-x2)
∵1-x²在[0，1）單調遞減，∴0＜1-x²≤1故log

1

2

(1-x2)≥0，
即f（x）+g（x）+h（x）有最小值0，但沒有最大值．