Question

已知數列{a_n}：a₁=1、a₂=2、a₃=r且a_n+3=a_n+2（n∈N^*），與數列{b_n}：b₁=1、b₂=0、b₃=-1、b₄=0且b_n+4=b_n（n∈N^*）．記T_n=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b_na_n．
（1）若a₁+a₂+a₃+…+a₉=34，求r的值；
（2）求T₁₂的值，并求證當n∈N^*時，T_12n=-4n；
（3）已知r＞0，且存在正整數m，使得在T_12m+1，T_12m+2，…，T_12m+12中有4項為100．求r的值，并指出哪4項為100．

Answer 1

解：（1）求得a₁=1，a₂=2，a₃=r，a₄=3，a₅=4，a₆=r+2，a₇=5，a₈=6，a₉=r+4
所以由a₁+a₂+a₃+…+a₉=34，可得．
（2）因為b₁=1、b₂=0、b₃=-1、b₄=0且b_n+4=b_n（n∈N^*）．
a₁=1，a₂=2，a₃=r，a₄=3，a₅=4，a₆=r+2，a₇=5，a₈=6，a₉=r+4…
T₁₂=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b₁₂a₁₂=-4，T_12n=-4n，
用數學歸納法證明：
當n∈Z⁺時，T_12n=-4n．
①當n=1時，T₁₂=a₁-a₃+a₅-a₇+a₉-a₁₁=-4，
等式成立
②假設n=k時等式成立，即T_12k=-4k，
那么當n=k+1時，
T_12（k+1）=T_12k+a_12k+1-a_12k+3+a_12k+5-a_12k+7+a_12k+9-a_12k+11
=-4k+（8k+1）-（8k+r）+（8k+4）-（8k+5）+（8k+r+4）-（8k+8）
=-4k-4=-4（k+1），
等式也成立．
根據①和②可以斷定：當n∈Z⁺時，T_12n=-4n．
（3）解：T_12m=-4m（m≥1）．
當n=12m+1，12m+2時，T_n=4m+1；
當n=12m+3，12m+4時，T_n=-4m+1-r；
當n=12m+5，12m+6時，T_n=4m+5-r；
當n=12m+7，12m+8時，T_n=-4m-r；
當n=12m+9，12m+10時，T_n=4m+4；
當n=12m+11，12m+12時，T_n=-4m-4．
∵4m+1是奇數，-4m+1-r，-4m-r，-4m-4均為負數，
∴這些項均不可能取到100．
∴4m+5-r=4m+4=100，解得m=24，r=1．
此時T₂₉₃，T₂₉₄，T₂₉₇，T₂₉₈為100．
分析：（1）求出數列的前9項，利用a₁+a₂+a₃+…+a₉=34，即可求r的值；
（2）利用T_n=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b_na_n．直接求T₁₂的值，然后利用數學歸納法證明，當n∈N^*時，T_12n=-4n；
（3）寫出T_12m+1，T_12m+2，…，T_12m+12的值，判斷這12項中的4項為100．然后求出r的值，即可求出哪4項為100．
點評：本題考查數學歸納法的證明步驟，數列求和的應用，分析問題解決問題的能力，計算能力．