Question

設(shè)為實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為。

 （Ⅰ）設(shè)，求的取值范圍，并把表示為的函數(shù)；

 （Ⅱ）求；

 （Ⅲ）試求函數(shù)的最小值.

Answer 1

解：（I）∵，

∴要使有意義，必須且，即

∵，且……①    ∴的取值范圍是。………2分

由①得：，∴，。…………………4分

（II）由題意知即為函數(shù)，的最大值，

∵直線是拋物線的對(duì)稱軸，∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論：

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的圖象是開(kāi)口向上的拋物線的一段，

由知在上單調(diào)遞增，故；

（2）當(dāng)時(shí)，，，有=2；

（3）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，的圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一段，

若即時(shí)，，

若即時(shí)，，

若即時(shí)，。

綜上所述，有=。…………………9分

（III）當(dāng)時(shí)，；

      當(dāng)時(shí)，，，∴，

，故當(dāng)時(shí)，；

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為。…………12分