Question

已知函數，
(Ⅰ)若函數f(x)在(0，+∞)上為單調增函數，求a的取值范圍；
(Ⅱ)設m，n∈R⁺，且m≠n，求證：。

Answer 1

(Ⅰ)解：，
因為f（x）在(0，+∞)為單調增函數，
所以f′(x)≥0在（0，十∞）上恒成立，即x²+(2-2a)x+l≥0在(0，+∞)上恒成立，
當x∈(0，+∞)時，由x²+(2-2a)x+l≥0，
得，
設，，
所以，當且僅當，即x=1時，g（x）有最小值2，
所以2a-2≤2，所以，a≤2，
所以a的取值范圍是(-∞，2]。
(Ⅱ)不妨設m＞n＞0，則，
要證，只需證，
即證，只需證，
設，
由(Ⅰ)知，h（x）在（1，+∞）上是單調增函數，
又，
所以，，即成立，
所以，。