Question

已知：函數的最小正周期是π，且當時f（x）取得最大值3．
（1）求f（x）的解析式及單調增區間．
（2）若x₀∈[0，2π），且，求x₀．
（3）將函數f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后得到函數y=g（x）的圖象，且y=g（x）是偶函數，求m的最小值．

Answer 1

解：（1）由已知條件知道：（1分）
∴ω=2（2分）∴
∴∴（3分）
∴（4分）
由可得
∴f（x）的單調增區間是（6分）
（2），
∴或
∴x₀=kπ或（9分）
又x₀∈[0，2π）∴或（11分）
（3）由條件可得：（13分）
又g（x）是偶函數，所以g（x）的圖象關于y軸對稱，
∴x=0時，g（x）取最大或最小值（14分）
即，
∴（15分）
又m＞0∴m的最小值是（16分）
分析：（1）利用函數的周期，最值，求出A，T然后求出ω，通過當時f（x）取得最大值3求出α，從而求f（x）的解析式及單調增區間．
（2）若x₀∈[0，2π），且，求出x₀即可．
（3）利用函數f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后得到函數y=g（x）的圖象，且y=g（x）是偶函數，求出g（x），然后再求m的最小值．
點評：本題考查三角函數的最值，正弦函數的單調性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，化為一個角的一個三角函數的形式是求最值的常用方法．能夠正確取得函數在給定區間上的最值，是順利解題的前提．