Question

（2012•南京二模）記（1+

x

2

）（1+

x

22

）…（1+

x

2n

）的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為a_n，x²的系數(shù)為b_n，其中 n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）是否存在常數(shù)p，q（p＜q），使b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

） 對(duì)n∈N*，n≥2恒成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，可得a_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

，利用等比數(shù)列的求和公式，可得結(jié)論；
（2）先計(jì)算b₂，b₃的值，代入b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

），解得p=-2，q=-1，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，得a_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

．…（3分）
（2）計(jì)算得b₂=

1

8

，b₃=

7

32

．
代入b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

），解得p=-2，q=-1． …（6分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明b_n=

1

3

（1-

1

2n-1

）（1-

1

2n

）=

1

3

-

1

2n

+

2

3

×

1

4n

 （n≥2）：
①當(dāng)n=2時(shí)，b₂=

1

8

，結(jié)論成立．
②設(shè)n=k時(shí)成立，即b_k=

1

3

-

1

2k

+

2

3

×

1

4k

．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，b_k+1=b_k+

ak

2k+1

=

1

3

-

1

2k

+

2

3

×

1

4k

+

1

2k+1

-

1

22k+1

=

1

3

-

1

2k+1

+

2

3

×

1

4k+1

．
由①②可得結(jié)論成立．　　　                …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查展開(kāi)式的系數(shù)，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．