Question

在直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點．

（Ⅰ）寫出C的方程；

（Ⅱ）若，求的值；

（Ⅲ）若點A在第一象限，證明：當時，恒有||>||．

Answer 1

本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關系等基礎知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．

解：

（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為．

（Ⅱ）設，其坐標滿足

消去y并整理得，

故．

若，即．

而，

于是，

化簡得，所以．

（Ⅲ）

                 

                 

                  ．

因為A在第一象限，故．由知，從而．又，

故，

即在題設條件下，恒有．