Question

已知：圓C過定點A（0，p），圓心C在拋物線x²=2py上運動，若MN為圓C在X軸上截和的弦，設|AM|=l₁，|AN|=l₂，∠MAN=α．
（1）當點C運動時，|MN|是否變化？寫出并證明你的結論；
（2）求的最大值，并求取得這個最大值時α的值和此時圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設出圓的方程，求出M，N兩點的坐標表示出|MN|即可發現|MN|的取值是否變化．
（2）先利用三角形的面積公式求出，再利用余弦定理求出l₁²+l₂²的表達式．代入整理為關于θ的函數，利用θ的范圍來求的最大值和此時圓C的方程即可．
解答：解：（1）：由題意得：⊙C的方程（x-x）²+（y-y）²=x²+（y-1）²．
把y=0和x²=2py代入整理得x²-2xx+x²+x_p²=0．
解之得方程的兩根分為
x₁=x-p，x₂=x+p．∴|MN|=|x₁-x₂|=2P．
∴點C運動時，|MN|不會變化，|MN|=2P（定值）
（2）設∠MAN=θ
∵S_△AMN==|OA||MN|=p²，∴
∵l₁²+l₂²-2l₁l₂cosθ=4P²，∴．
∴．
∵只有當C在O點處時，θ為直徑上圓周角，其他時候都是劣弧上的圓周角．
∴，
故當時，原式有最大值．
∵∠MAN=，∴∠MCN=2∠MAN=∴y=P，x=，r=．
所求圓的方程為．
點評：本題是對圓與拋物線以及余弦定理，三角形面積公式等知識的綜合考查，做這一類型題，讀題很關鍵．