Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，且PA=AD=2，E、F分別為棱AD、PC的中點．
（1）求異面直線EF和PB所成角的大小；
（2）求證：平面PCE⊥平面PBC；
（3）求直線BD與平面PBC所成角．

Answer 1

解：（1）分別以直線AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
（1）∵E為線段AD的中點，∴E（0，1，0）；F為PC的中點，∴F（1，1，1）．
∴=（1，0，1），又=（2，0，-2），∴==0，
∴．
∴異面直線EF和PB所成角為90°；
（2）證明：∵=（0，2，0），∴=0+0+0=0，∴EF⊥BC；
由（1）可知：EF⊥BP，而BC∩BP=B，∴EF⊥平面PBC，
又EF?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PBC．
（3）由（2）可知：EF⊥平面PBC，∴可取作為平面PBC的法向量，
設BD與平面PBC所成的角為θ，又，
∴sinθ====．
∵，∴．
故直線BD與平面PBC所成角為．
分析：通過建立空間直角坐標系，（1）利用異面直線的方向向量的夾角即可求出異面直線所成的角；
（2）由（1）可知EF⊥BP，只要再證明EF⊥BC即可證明EF⊥平面PBC，進而得到面面垂直；
（3）若為平面PBC的法向量，θ為斜線BD與平面所成的角，利用求出即可．
點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量所成的角求異面直線所成的角、?證明垂直及利用平面的法向量證明線面、面面垂直、求線面角是解題的關鍵．