Question

某校某次數學考試的成績X服從正態分布，其密度函數為f(x)=

1

2π σ

e-

(x-μ)2

2σ2

，密度曲線如圖，則密度曲線與直線x=75和直線x=85以及與x軸所圍成的圖形面積為

0.4772

平方單位．
（P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974）

Answer 1

分析：正態總體的取值關于x=75對稱，位于（65，85）之間的概率是P（μ-2σ＜X≤μ+2σ），根據對稱性除以2，得到要求的結果．

解答：解：∵數學成績近似地服從正態分布N（75，5²），
且P（|x-u|＜2σ）=0.9544，
∴P（|x-75|＜10）=0.9544，
∴數學成績在75--85分之間的成績約為

1

2

×0.9544=0.4772．
則密度曲線與直線x=75和直線x=85以及與x軸所圍成的圖形面積為 0.4772平方單位．
故答案為：0.4772．

點評：一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似的服從正態分布，正態分布在概率和統計中具有重要地位且滿足3σ原則．