Question

如圖，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=,

(1)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值；

(2)求SC與平面ABCD所成的角的余弦值.

Answer 1

解析：(1)因?yàn)锳D、AB、AS是三條兩兩互相垂直的線(xiàn)段，故以A為原點(diǎn)，分別以AD、AB、AS的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立坐標(biāo)系，則A(0,0,0)、D(,0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1),AD=(,0,0)是平面SAB的法向量.設(shè)面SCD的法向量n=(1，λ，μ),則n·DC=(1，λ，μ)·(,1,0)= +λ=0.

∴λ=-.?

n·DS=(1,λ,μ)·(-,0,1)=-+μ=0.

∴μ=.

∴n=(1,-,).?

如以θ表示欲求二面角的值，則cosθ=cos〈, n〉,

·n=(,0,0)·(1,- ,)=,|AD|=,

n=,

∴cosθ= = =,sinθ=.

∴tanθ= = =.

∴面SCD與面SBA所成二面角的正切值為.

(2)∵是平面ABCD的法向量，設(shè)與之間的夾角為φ.

∵=++,?

∴·=·(++)= ·=1,

||=1,

||===.

∴cosφ= = =.

∴SC與平面ABCD所成角的余弦值為=.

溫馨提示：對(duì)于(2)也可借助坐標(biāo)計(jì)算線(xiàn)面角.像棱沒(méi)有給出的二面角大小計(jì)算問(wèn)題，用向量法解答十分方便.