Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=﹣5，a _n+1=2a_n+3n+1，已知存在常數p，q使數列{a_n+pn+q}為等比數列．
（1）求常數p、q及{a_n}的通項公式；
（2）解方程a_n=0．
（3）求|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

解：（1）由條件令，a _n+1+p（n+1）+q=k（a_n+pn+q），
則：a _n+1=ka_n+（kp﹣p）n+kq﹣q﹣p
故：
又a₁+p+q=2∴，∴

（2）計算知a₁=﹣5，a₂=﹣6，a₃=﹣5，a₄=0，a₅=13，
故猜測n≥5，a_n＞0即2ⁿ＞3n+4，下證．
（i）當n=5成立
（ii）假設n=k（k≥5）成立，即2^k＞3k+4那么2 ^k+1＞2（3k+4）=6k+8＞3k+7
故n=k+1成立．
由（i）、（ii）可知命題成立．
故a_n=0的解為n=4．
（3）由（2）可得，當n≤3時，
|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=﹣（a₁+a₂+a₃）+a₄+a₅+…+a_n=a₁+a₂+…+a_n﹣2（a₁+a₂+a₃）
=