Question

8．分別求滿足下列條件的方程：
（1）求長軸在y軸上，長軸長等于12，離心率等于$\frac{2}{3}$的橢圓的標準方程；
（2）拋物線的對稱軸是x軸，且頂點與焦點的距離等于4，求這個拋物線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）根據題意，分析可得2a=12，則可以設要求橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，進而由題意可得e=$\frac{\sqrt{36-{b}^{2}}}{6}$=$\frac{2}{3}$，解可得b²的值，代入標準方程即可得答案；
（2）根據題意，設要求拋物線的標準方程為y²=±2px，（p＞0），又由頂點與焦點的距離等于4，即$\frac{p}{2}$=4，解可得p的值，代入標準方程即可得答案．

解答 解：（1）根據題意，要求橢圓的長軸在y軸上，且長軸長等于12，即2a=12，
則可以設要求橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
其c=$\sqrt{36-{b}^{2}}$，
又由該橢圓的離心率等于$\frac{2}{3}$，
則有e=$\frac{\sqrt{36-{b}^{2}}}{6}$=$\frac{2}{3}$，
解可得：b²=20，
故要求橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{20}$=1；
（2）根據題意，要求拋物線的對稱軸是x軸，
則設其標準方程為y²=±2px，（p＞0）
又由頂點與焦點的距離等于4，即$\frac{p}{2}$=4，
解可得p=8，
則要求拋物線的標準方程為：y²=±16x．

點評 本題考查橢圓和拋物線的標準方程的求法，關鍵是掌握并利用橢圓、拋物線的簡單幾何性質．